Rätsel

Aber klar ist, dass nach Aussage 1 es ausgeschlossen ist, dass beide Zahlen Primzahlen sind, sonst wäre ihr Produkt eindeutig.
Aussage 2 bedeutet, dass die Summe der beiden Zahlen nicht der Summe zweier Primzahlen entspricht.
Nun muss man eine Liste der Zahlen 2 bis 99 anfertigen und jene Zahlen durchstreichen, die ausgeschlossen sind.

combinations = (2..99).to_a.repeated_combination(2)

additions = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a+b == k} }
multiplications = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a*b == k} }
combinations = combinations.select { |a,b| multiplications[a*b].size > 1}.select {|a,b|
additions[a+b].all? {|c,d| multiplications[c*d].size > 1}
}

multiplications = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a*b == k} }
combinations = combinations.select {|a,b| multiplications[a*b].size == 1 }

additions = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a+b == k} }
combinations = combinations.select {|a,b| additions[a+b].size == 1}

p combinations

combinations = (2..99).to_a.repeated_combination(2)

# Generiere Buffer-Hashes, um die Berechnung zu beschleunigen
additions = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a+b == k} }
multiplications = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a*b == k} }

combinations = combinations.select { |a,b|
# Gauss geht von allen möglichen Kombinationen aus, die
# das Produkt seiner Zahl ergeben könnten und sagt, dass
# er die Zahl nicht kenne --> Es muss mehrere
# Zahlen geben, die zum gleichen Produkt führen, sonst
# könnte er bereits jetzt die Zahlen eindeutig bestimmen
multiplications[a*b].size > 1
}.select {|a,b|
# Euler meinte, dass er schon vor der Aussage von Gauss
# gewusst habe, dass dieser die Antwort nicht kennen kann.
# --> Jede mögliche Kombination der beiden Zahlen die die
# ihm bekannte Summe ergibt, hat ein zugehöriges Produkt, aus
# dem die Zahlen nicht eindeutig geschlossen werden können
# (siehe vorherigen Punkt)
additions[a+b].all? {|c,d| multiplications[c*d].size > 1}
}

# Die kommende Aussage von Gauss bezieht sich auf den Informationsstand nach der
# Aussage von Euler, die die möglichen Kombinationen wesentlich einschränkt.
multiplications = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a*b == k} }

combinations = combinations.select {|a,b|
# Gauss kennt jetzt eine eindeutige Lösung --> Für das Produkt, das Gauss kennt
# gibt es also nach der Information von Gauss nur noch eine einzige Kombination
# mit diesem Produkt
multiplications[a*b].size == 1
}

# Die kommende Aussage von Euler bezieht sich auf den Informationsstand nach
# Gauss' voriger Aussage.
additions = Hash.new { |h, k| h[k] = combinations.select {|a,b| a+b == k} }

combinations = combinations.select {|a,b|
# Euler kann jetzt ebenfalls eine eindeutige Lösung bestimmen.
additions[a+b].size == 1
}

p combinations

additions = Hash.new { |h, k| h[k] = [] }
multiplications = Hash.new { |h, k| h[k] = [] }

(2..99).to_a.repeated_combination(2).each do |a,b|
combo = {a: a, b: b, active: true}
additions[a+b] << combo
multiplications[a * b] << combo
end

multiplications.each { |_, combos|
combos.each {|c| c[:active] = false } unless combos.size > 1
}
additions.each {|sum, combos|
combos.each {|c| c[:active] = false } unless combos.all? {|c| multiplications[c[:a] * c[:b]].size > 1 }
}
multiplications.each {|product, combos|
combos.each {|c| c[:active] = false } unless combos.select {|c| c[:active]}.size == 1
}
additions.each {
|sum, combos| combos.each {|c| c[:active] = false } unless combos.select {|c| c[:active]}.size == 1
}

p additions.values.flatten.select {|c| c[:active] }

"Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen." So lautet die Goldbachsche Vermutung. Somit können wir schon alle gerade Zahlen als mögliche Summen ausschließen.

Gauß weiß nach Eulers Aussage also: Die Summe ist ungerade.
Da er nun die Zahlen kennt, muss sich das Produkt auf verschiedene Arten zerlegen lassen, aber nur eine Art ergibt eine ungerade Summe.
Eine Summe ist nur dann ungerade, wenn ein Summand gerade ist und der andere ungerade.
Das bedeutet, dass das Produkt gerade ist.
Ferner bedeutet es, dass jede Zerlegung des Produkts in zwei Zahlen zu zwei geraden Zahlen führen würde, außer einer bestimmten Zerlegung.
Somit muss eine der beiden Zahlen entweder 2 sein und die andere Zahl eine ungerade Zahl.
In diesem Fall muss die ungerade Zahl muss zumindest das Produkt zweier ungerader Primzahlen sein. Es kann sich aber auch um eine Quadratzahl handeln.
Es kann aber auch eine der beiden Zahlen eine Zweierpotenz sein und die andere Zahl eine Primzahl.

16. Juli

Weg: Albert kann vom Monat unmöglich auf den Tag kommen, aber mit seiner Aussage, dass er sicher ist,
dass Bernhard es auch nicht weiß, schließt er Mai und Juni aus (der 18. und 19. kommen jeweils nur einmal vor.
Bleiben Juli und August. Bernhard sagt nun, dass er das Datum jetzt kenne, was wiederum den 14. ausschließt
(den gibt es sowohl im Juli wie auch August). Es bleiben 15. und 17. August sowie 16. Juli. Nachdem Albert jetzt
aber das Datum auch weiß, muss Cheryl ihm den Juli genannt haben (da im August noch zwei Tage zur Auswahl
stünden). Es bleibt der 16. Juli übrig.

Nur wenn der Geburtsmonat Mai oder Juni wäre, könnte Bernard das Geburtsdatum kennen,
weil nur in diesen beiden Monaten Tage vorkommen, die in jeweils keinem anderen Monat vorkommen.

Also ist der Geburtsmonat Juli oder August.

Da Bernard nun die Lösung kennt, kann es sich nicht um den 14. handeln.

Wenn dieses Wissen dazu führt, dass auch Albert nun die Lösung kennt, kann es sich nur um den 16. Juli handeln,
denn wenn es ein Tag im August wäre, wäre die Lösung nicht eindeutig.