Erwartungswert für die Anzahl unterschiedlicher Elemente bei Ziehung mit Zurücklegen

emptyvi

Hoioi!

Vorweg: Da mir das folgende Problem gerade beim Programmieren begegnet ist, also nicht inhaltlich mit den beiden Statistikvorlesungen zu tun hat, poste ich es mal hier (falls es woanders hingehört, bitte verschieben).

Folgendes Problem:

Ich habe eine Menge von m (unterschiedlichen) Elementen. Daraus ziehe ich zufällig n Elemente (Ziehung mit zurücklegen). Wieviele unterschiedliche Elemente gibt es dann durchschnittlich in diesen n gezogenen Elementen (= Erwartungswert der Anzahl der unterschiedlichen, gezogenen Elemente)?

Was mir einfiele, wäre irgendwie sowas:

[tex='\sum_{i=0}^{n} i \cdot p(\text{i unterschiedliche Elemente in den n Elementen})'][/tex]

Das folgende scheint mir nach näherer Betrachtung schwachsinnig - ich lasse es der Vollständigkeit halber trotzdem stehen:

[tex='\sum_{i=0}^{n} i \cdot \binom{n}{i} \cdot \prod_{j=m-i}^{m}\frac{j}{m} \cdot (\frac{i}{m})^{n-i}'][/tex]

K.A. ob das stimmen kann. In jedem Fall würde ich mich über eine einfachere Lösung freuen.

Liebe Grüße
emptyvi

Dimitrij

Vielleicht so (bin mir nicht ganz sicher):
[tex=' \frac{1}{m^n} \cdot\sum_{i=1}^{n} i \cdot \binom{m}{i} \cdot i! \cdot S_{n,i}'][/tex]

wobei [tex='S_{n,k}'][/tex]

die Stirlingzahlen zweiter Art sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-…len_zweiter_Art

emptyvi

Zitat von Dimitrij

Vielleicht so (bin mir nicht ganz sicher):
[tex=' \frac{1}{m^n} \cdot\sum_{i=1}^{n} i \cdot \binom{m}{i} \cdot i! \cdot S_{n,i}'][/tex]
wobei
[tex='S_{n,k}'][/tex]
die Stirlingzahlen zweiter Art sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-…len_zweiter_Art

Hey, vielen Dank!

Ich habs mal ausprogrammiert - was dabei rauskommt sieht richtig aus! Wie genau das funktioniert durchschau ich aber leider gerade nicht. Könntest du mir vielleicht noch erklären, warum die Formel so aussieht, wie sie aussieht?

Vielen Dank nochmals,

Liebe Grüße
emptyvi

Dimitrij

[tex=' \frac{1}{m^n} \cdot\sum_{i=1}^{n} i \cdot \binom{m}{i} \cdot i! \cdot S_{n,i}'][/tex]

[tex='\sum_{i=1}^{n} i \cdot p(\text{i unterschiedliche Elemente in den n Elementen})'][/tex]

Anzahl der möglichen Versuchsausgänge: [tex='m^n'][/tex]

Anzahl der Versuchsausgänge mit i unterschiedlichen Elementen: [tex='\binom{m}{i} \cdot i! \cdot S_{n,i}'][/tex]

[tex='p(\text{i unterschiedliche Elemente in den n Elementen})=\frac{1}{m^n} \cdot \binom{m}{i} \cdot i! \cdot S_{n,i}'][/tex]

[tex=' \binom{m}{i}'][/tex]

: soviele Möglichkeiten gibt es, welche Werte die i unterschiedlichen Elemente haben
[tex='S_{n,i}'][/tex]

: soviele Möglichkeiten gibt es, die n Positionen in i nicht-leere Positionsmengen aufzuteilen (eine Positionsmenge gibt an, an welchen Positionen gleiche Elemente stehen)
[tex='i!'][/tex]

: soviele Möglichkeiten gibt es, die i unterschiedlichen Werte den i Positionsmengen zuzuordnen

Stirlingzahlen kenne ich übrigens aus der Vorlesung Diskrete Mathematik.

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