Ok, ich versuchs mal allgemein mit einer Basis b und den Ziffern x, y, z aus {0,...,b-1} mit x > z.
Eine Zahl mit drei Ziffern kann dargestellt werden als xb² + yb + z.
1) Die Reihenfolge der Ziffern umkehren.
Aus xb² + yb + z
wird zb² + yb + x.
2) Die in 1) erhalte Zahl von der ursprünglichen Zahl subtrahieren:
(xb² + yb + z) - (zb² + yb + x) =
(x - z)b² + yb - yb + (z - x) =
(x - z)b² + (z - x) = (*)
3) Nun bringen wir den Term auf eine Gestalt, in der die Koeffizenten den Ziffern entsprechen wobei für jede Ziffer b > Ziffer >= 0 gelten muss.
Wegen -b < (z - x) < 0 ergibt sich
(*) = (x - z - 1)b² + (b - 1)b + (b + z - x).
(Ich wünschte ich könnte diesen Schritt besser erklären, aber ein bisschen selber grübeln kann auch nicht schaden :idea::p).
4) Schließlich kehren wir die Reihenfolge der Ziffern wieder um und addieren die in 3) erhaltene Zahl.
(x - z - 1)b² + (b - 1)b + (b + z - x) +
(b + z - x)b² + (b - 1)b + (x - z - 1) =
(b - 1)b² + 2(b - 1)b + (b - 1).
Sei b = 10. Dann kommt da oben 1089 raus. Wie man sieht hängt das nur von b ab.
Aber es gibt sicher einen einfacheren Trick das zu zeigen, stimmts?