faszinierender zahlentrick

Rageboom · **Gelbasack** 16.08.2007 wir haben am Papier Verluste und real gar nix

ich hab heute was lustiges entdeckt. (für mich ist es halt sehr lustig, vielleicht ist es für vollblutinformatiker erst die vorvorvorspeise zu wirklichen herausforderungen )

also los:

Nimmt man eine 3-stellige Zahl, deren Umkehrzahl kleiner ist als sie selbst (die Umkehrzahl von 531 ist 135), subtrahiert davon deren Umkehrzahl und addiert zu diesem Ergebnis wiederum die Umkehrzahl des Ergebnisses, erhält man immer 1089 (z.B. 481-184=297 und 297+792=1089). Wenn das erste Teilergebnis ein zweistelliges Ergebnis zur Folge hat, stellt man der Zahl eine Null voran (z.B. 473-374=099 und 099+990=1089).

wieso funktioniert das? (sicher könnt ihr jetzt googeln, das kann ich aber auch. wär sicher interessant selbst drauf zu kommen)

p.s.: man muss nicht von haus aus, eine zahl nehmen deren umkehrung kleiner ist. man nimmt einfach irgendeine zahl und subtrahiert anschliessend einfach die kleinere von der größeren.

tonico

Ok, ich versuchs mal allgemein mit einer Basis b und den Ziffern x, y, z aus {0,...,b-1} mit x > z.

Eine Zahl mit drei Ziffern kann dargestellt werden als xb² + yb + z.

1) Die Reihenfolge der Ziffern umkehren.

Aus xb² + yb + z
wird zb² + yb + x.

2) Die in 1) erhalte Zahl von der ursprünglichen Zahl subtrahieren:

(xb² + yb + z) - (zb² + yb + x) =
(x - z)b² + yb - yb + (z - x) =
(x - z)b² + (z - x) = (*)

3) Nun bringen wir den Term auf eine Gestalt, in der die Koeffizenten den Ziffern entsprechen wobei für jede Ziffer b > Ziffer >= 0 gelten muss.

Wegen -b < (z - x) < 0 ergibt sich

(*) = (x - z - 1)b² + (b - 1)b + (b + z - x).

(Ich wünschte ich könnte diesen Schritt besser erklären, aber ein bisschen selber grübeln kann auch nicht schaden :idea::p).

4) Schließlich kehren wir die Reihenfolge der Ziffern wieder um und addieren die in 3) erhaltene Zahl.

(x - z - 1)b² + (b - 1)b + (b + z - x) +
(b + z - x)b² + (b - 1)b + (x - z - 1) =
(b - 1)b² + 2(b - 1)b + (b - 1).

Sei b = 10. Dann kommt da oben 1089 raus. Wie man sieht hängt das nur von b ab.

Aber es gibt sicher einen einfacheren Trick das zu zeigen, stimmts?

MaxAuthority

Zitat von tonico

Aber es gibt sicher einen einfacheren Trick das zu zeigen, stimmts?

Aber dann wuerds nicht so cool aussehen wie deine erklaerung Ausserdem ist das wohl so sicher exakter erklaert. Note 1, setzen! *g*

orpheus

Wen's interessiert, es gibt noch eine Verallgemeinerung zu diesem Problem:

Erlaubt seien für oben angegebenes Procedere nun auch Zahlen mit den Ziffern 1...n+1 (von links nach rechts durchnummeriert) und der Eigenschaft dass die Ziffer an der Stelle j gleich der Ziffer an der Stelle n+2-j ist mit j>1 (46768 ist z.B. eine solche). Dann ergibt sich nach oben angegebenen Verfahren ebenfalls stets eine konstante Zahl. Hab folgende Zahl gefunden:

(b-1)(b^n+1) + (2(b-1))*SUMME(b^i)(i=1...n-1)

Diese beinhaltet auch den oben dargestellten Spezialfall n=2, b=10.

Jensi

Kann man auch mit Modulorechnung beweisen:

Als Zahlen nimmt man xyz und deren Umkehrung zyx, wobei x > z gelten muß, damit xyz>zyx ist.

Dann kann man die einzelnen Ziffern der Differenz von xyz-zyx=abc so beschreiben:

[tex='c = z-x \q \mathrm{mod} \q 10'][/tex]
Da
[tex='x > z \Rightarrow z - x < 0'][/tex]
, aber auch
[tex='-10 < z - x'][/tex]
, da die beiden Ziffern maximal die Differenz 9 haben können, gibt es immer einen Übertrag von 1 auf die mittlere Stelle b, die dadurch immer 9 wird wegen:
[tex='b = (y-1) - y \q \mathrm{mod} \q 10 = -1 \q \mathrm{mod} \q 10 = 9'][/tex]
Wegen
[tex='y-1 < y'][/tex]
gibt es wieder einen Übertrag auf Stelle a, für die gilt:
[tex='a = (x-1)-z'][/tex]

wobei
[tex=' 0 \leq a \leq 9'][/tex]
, da aufgrund von
[tex='x>z'][/tex]
gilt
[tex='x-1 \geq z'][/tex]
(wir haben es hier ja nur mit Ganzzahlen zu tun).

Wenn wir jetzt die Differenz abc mit ihrer Umkehrung cba summieren zu [tex='a\'b\'c\''][/tex]

, bekommen wir:

[tex='\underbrace{(a+c)}_{a\'} \cdot 10^2 + \underbrace{(b+b)}_{b\'} \cdot 10 + \underbrace{(a+c)}_{c\'}'][/tex]

[tex='c\' = a + c \q \mathrm{mod} \q 10 = (x-1)-z+z-x \q \mathrm{mod} \q 10 = -1 \q \mathrm{mod} \q 10 = 9 '][/tex]
[tex='b\' = b + b = 18'][/tex]
[tex='a\' = c\' = 9'][/tex]

Wenn wir die Gleichung ausrechen, bekommen wir:

[tex='9 \cdot 10^2 + 18 \cdot 10 + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089'][/tex]

Ivy

kommt sicher gut bei den schixen an. hrhr

Rageboom · **Gelbasack** 16.08.2007 wir haben am Papier Verluste und real gar nix

ok, ich sehe die tricks gefallen euch, und die schixen fahren drauf ab. also hier noch einer:

Denk dir eine 4stellige zahl aus. nimm ihre umkehrung und schreibe sie direkt hinter der urspringlichen zahl hin. die neue 8stellige zahl ist immer durch 11 teilbar. waruuuuuum?

p.s. falls ich euch doch langweile, nehmt es mit humor

Jensi

Das funktioniert für jede Zahl, nicht nur für vierstellige. Der Einfachheit halber demonstriere ich das für nur zwei Stellen, d. h. die ursprüngliche Zahl ist "ab", die resultierende "abba":

[tex=' a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a'][/tex]

Diese Zahl ist dann durch 11 teilbar, wenn sie modulo 11 gleich null ist. Man betrachte die Zehnerpotenzen modulo 11:

[tex='10^n \q \mathrm{mod} \q 11 = \left{ \begin{array}{ll} 1 & \quad \textrm{n gerade} \\ 10 & \quad \textrm{n ungerade}\end{array}'][/tex]

Für die untersuchte Zahl heißt das:

[tex='a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \q \mathrm{mod} \q 11 = '][/tex]

[tex='10 a + b + 10 b + a \q \mathrm{mod} \q 11 = '][/tex]

[tex='11 a + 11 b \q \mathrm{mod} \q 11 = 0 + 0 = 0'][/tex]

Analog für alle anderen Stellenanzahlen.

Swoncen

Wo sitzt du am Freitag beim Mathe3 Test? =)

NightHaG

als tät ma das dort brauchen

Jensi

Jo... das ist eher Stoff von Mathe 1.

Rageboom · **Gelbasack** 16.08.2007 wir haben am Papier Verluste und real gar nix

ok, nochmal der versuch, dass dieser tag mit einem rätsel beginnt.

also los:

An wieviel abenden in der woche möchtes du ausgehen?
Multipliziere die zahl mit 2.
Addiere 5.
Multipliziere mit 50.
Wenn du heuer schon Geburtstag hattest, dann addiere 1754, wenn nicht, dann addiere 1753.
Ziehe dein Geburtsjahr ab.

ergebnis:

du erhälst eine drei-stellige zahl.
die erste ziffer ist die anzahl der abende an denen du ausgehen willst.
die anderen beiden ziffern bilden dein alter.

jetzt zur frage: dieser trick funktioniert nur 2004. was muss man ändern damit er auch 2007 funktioniert? wie geht der trick überhaupt?

viel spaß beim lösen auch wenn er einfacher ist.

Ivy

der wird bei manchen menschen aber net funktionieren, weil zB. mdk an keinem abend fortgehen möchte.

Rageboom · **Gelbasack** 16.08.2007 wir haben am Papier Verluste und real gar nix

doch der trick geht auch mit 0

Ivy

damn

Jensi

Definition: a... Ausgeh-Abende, g... Geburtsjahr

[tex='(2a+5) \cdot 50 + 1754 - g'][/tex]

[tex='100a + 250 + \underbrace{1754}_{c} - g'][/tex]

[tex='100a + \underbrace{2004}_{j} - g'][/tex]

Ich glaube, da sieht man schon, was man für das aktuelle Jahr j machen muß: Statt 1754 wähle man c so, daß

[tex='j - c = 250'][/tex]

D. h. für 2007 wähle man c = 1757 (bzw. 1756, falls man noch nicht Geburtstag hatte).

Aus den 100a erklärt sich auch auf triviale Art und Weise, warum die Hunderterstelle gleich der Anzahl der Ausgeh-Abende ist.

Rageboom · **Gelbasack** 16.08.2007 wir haben am Papier Verluste und real gar nix

mann... der war sehr einfach offensichtlich. naja, ich kann nix dafür, dass die leut net schwierigere erfinden.

vielleicht kennt ihr ja selbst welche und wollt die anderen raten lassen!!

Ivy

wir könnten hier überhaupt rätsel posten. nicht nur mit zahlen. aber wer mitmacht, darf net googlen, des is sonst zu einfach.

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